tag:blogger.com,1999:blog-36448850352031419822024-02-08T10:54:17.332-08:00Μόρφωσηs ΣυνέχειαΠανδέκτης Επιστημών που παρέχει τη γνώση με ευρύτητα συνοπτικότητα και πληρότητα.Unknownnoreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-3644885035203141982.post-82955799062393628112012-01-13T03:01:00.000-08:002016-01-23T08:40:47.722-08:00ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α,β,γ<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">πρόλογος</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Στην εποχή μας η ικανότητα των ανθρώπων ακόμη και με βασική μόρφωση, να αναγνωρίζουν βασικές μαθηματικές εκφράσεις, και να τις κατανοούν σαν έννοιες, κι επομένως να τις χρησιμοποιούν στη καθημερινότητα τους, είναι πλέον συνηθισμένη.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μια τέτοια συνηθισμένη είναι η έκφραση 36+10=46, φαντάζομαι θα συμφωνείτε.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για να αποκτήσουν οι άνθρωποι αυτή την απλούστατη φαινομενικά ικανότητα, χρειάστηκαν κάπου τέσσερις χιλιάδες χρόνων ιστορία και διερευνήσεων των καλύτερων μυαλών της ανθρωπότητας.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για τεράστιο διάστημα της ιστορίας οι άνθρωποι μετρούσαν -και μετρούν-χρησιμοποιώντας δάκτυλα, άβακες, ή άλλα απτά μέσα για λόγους πρακτικότητας.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα βασικά μαθηματικά για τη καθημερινότητα ενός ανθρώπου μπορούν να περιοριστούν στην αριθμητική και γεωμετρία που διδασκόμαστε στο δημοτικό σχολείο. Έχει παρατηρηθεί μάλιστα ότι ένας άνθρωπος πρακτικά προσανατολισμένος σε αυτά, υπερτερεί με τεράστια διαφορά σε καθημερινό επίπεδο δοσοληψιών οποιουδήποτε μορφωμένου μαθηματικά ή ακόμη και μεγάλου μαθηματικού μυαλού.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Είναι η αντίστοιχη ικανότητα ενός δρομέα αποστάσεων συγκρινόμενο με ένα σύγχρονο άνθρωπο που οδηγεί κάποιο μεταφορικό μέσο πχ [μοτοσικλέτα, αυτοκίνητο, ή αεροπλάνο] και οι δύο τύποι ικανοτήτων είναι ζωτικής σημασίας για κείνους που τις κατέχουν και νομίζω είναι καλό να τις κατέχουν εξίσου.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ας μην υποτιμάμε λοιπόν το πολιτισμό του οποίου έχουμε γίνει κοινωνοί αλλά ας τον βάλουμε σε λειτουργία πληρότητας, αφού εκείνοι που έφτιαξαν τα μαθηματικά έλεγαν επίσης «ουκ εν τω πολλώ το ευ» δηλαδή: δεν είναι το καλό στο πολύ, ώστε πρέπει, ούτε ατροφικοί να γίνουμε στα καθημερινά, ούτε και πρωτόγονοι να μένουμε στις τεχνικές μας. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι αριθμοί υπήρξαν πάντα θέλγητρο για τους ανθρώπους και σε πολλούς πολιτισμούς όπως στον Ελληνικό, Αιγυπτιακό, και Βαβυλωνιακό είχαν ιερές ιδιότητες και συμβολισμούς.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ειδικά δε στον Ελληνικό πολιτισμό η Πυθαγόρεια σχολή που ιδρύθηκε στην Ελλάδα απ’ το Πυθαγόρα το Σάμιο τον 6οπχ αιώνα, είχε καταστήσει τους αριθμούς ιερή γνώση και για τούτο τα μέλη της σχολής οι διαπρεπέστεροι μαθηματικοί του τότε κόσμου έδιναν όρκο απόλυτης μυστικότητας, και για να γίνουν κοινωνοί της υψηλής αυτής γνώσης περνούσαν από ψιλό κόσκινο -πολυετή τελετή μύησης-.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η γνώση των μαθηματικών και της επιστήμης γενικότερα στα κατάλληλα χέρια δίνει τεράστια ισχύ που μπορεί να δώσει τεράστια ώθηση ή να καταστρέψει τη κοινωνία αφού μπορεί να ανατρέπει καθεστώτα και κυβερνήσεις, να κερδίσει πολέμους και να τελειώσει πολέμους-βλέπε ατομική βόμβα-</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για προστασία λοιπόν του κοινωνικού συνόλου εφάρμοζαν ένα σύστημα αυστηρότατο μυστικότητας.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Εφαρμόζεται ακόμη σε πολλούς τομείς της επιστήμης, αλλά για λόγους περιφρούρησης συμφέροντος κι εξουσίας: οι κρατούντες δεν αφήνουν να διαχυθεί η γνώση για να μη μετέχουν κι άλλοι στην νομή της εξουσίας. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Στον επιστημονικό χώρο μπαίνει επιπλέον κάθε καρυδιάς καρύδι σαν να αρκούσε η ευφυΐα του για να υπάρξει η πρόοδος στις επιστήμες και τη κοινωνία, είναι η νέα γενιά ανήθικων επιστημόνων που δεν γνωρίζουν κανένα ηθικό φραγμό.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αλλά όταν μετράει μόνο το υποτιθέμενο οικονομικό κέρδος τι να πει κανείς που να πιάσει τόπο;</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πρόκειται για αυτό που πολύ αργότερα διδάσκει και ο Ιησούς και που πράγματι εφαρμοζόταν με απαρέγκλιτη αυστηρότητα από τη Σχολή των Πυθαγόρειων: «μη ρίχνετε στους χοίρους τα μαργαριτάρια, γιατί θα τα ποδοπατήσουν και θα σας επιτεθούν να σας σκοτώσουν» .</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 6 ιδιαίτερα σημαντικό ισχυρίζονταν ότι ήταν ο μικρότερος τέλειος αριθμός αφού 1+2+3=6 και 1x2x3=6</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Την ίδια αντίληψη είχε και ο Άγιος Αυγουστίνος-ο επονομαζόμενος και Ιερός Αυγουστίνος-.Ακόμη και ο περίφημος μαθηματικός Λάιμπνιτς τον 17ο αιώνα υποστήριξε ότι ένα δυαδικό σύστημα στηρίζεται στο 1 που αντιπροσωπεύει το δημιουργό-Θεό-, και το 0 που αντιπροσωπεύει το κενό από το οποίο προέρχονται τα πάντα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Όπως αντιλαμβανόμαστε τα ψηφία δεν είναι απλά και μόνο κάποια αφηρημένα ορνιθοσκαλίσματα καλούμενα νούμερα, είναι φορείς νοημάτων ενίοτε σύμβολα ξεχασμένων ή παντελώς άγνωστων εννοιών στο ευρύ κοινό αλλά δεν είναι σίγουρα ασήμαντα και άχρηστα διανοητικά παιχνιδάκια.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αντιπροσωπεύουν τη δομή του κόσμου που ζούμε στη πλέον αμετάβλητη και διαχρονική μορφή του.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 "Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1-τι είναι τα μαθηματικά;</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2-η προέλευση των μαθηματικών</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">3-οι πρώτες ιστορικές ανακαλύψεις</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">4-η αναγέννηση</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">5-τα σύγχρονα μαθηματικά</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">6-η γεωμετρία</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">7-η άλγεβρα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1.Τι είναι τα μαθηματικά;</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα μαθηματικά για το ευρύ κοινό είναι η επιστήμη που ασχολείται με τους αριθμούς, τα μεγέθη, τους τύπους και τις μεταξύ τους σχέσεις. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για τους γνωρίζοντες όμως είναι η απαράλλακτη διαχρονικά δομή του επιστητού αυτό που αναφέρεται -σαν πρώτη κουβέντα- στο κατά Ιωάννη ευαγγέλιο στη Καινή διαθήκη «ΕΝ ΑΡΧΗ ΗΝ Ο ΛΟΓΟΣ»! </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Εγώ ανήκω στους πρώτους και εκεί θα δώσω περισσότερο βάρος χωρίς όμως να ισοπεδώνω αυτά που δεν ξέρω και ευελπιστώ να μάθω.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι περισσότεροι άνθρωποι έρχονται σε επαφή με τα μαθηματικά μέσα από υπολογισμούς όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός η διαίρεση που αποτελούν την απλή αριθμητική και που μαζί με τη γεωμετρία είναι η ευρέως γνωστή πρακτική χρησιμότητα των μαθηματικών στη καθημερινότητα μας στις οικονομικές-εμπορικές μας συναλλαγές.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αριθμητική ασχολείται με προβλήματα στα οποία γνωστοί αριθμοί πρέπει με κάποιο τρόπο να συσχετιστούν</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πχ πολλαπλασίασε το έξη με τον εαυτό του και πρόσθεσε δέκα, είναι ένα απλό πρόβλημα αριθμητικής</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"></span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ένα πιο δύσκολο πρόβλημα είναι η προσθήκη ενός αγνώστου</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πχ ποιός αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του και στη συνέχεια προστιθέμενος στο δέκα να δώσει αποτέλεσμα πενήντα εννέα:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"></span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"></span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η πρόταση αποτελεί μια εξίσωση στην οποία το  αποτελεί τον άγνωστο αριθμό. Τέτοιου είδους εκφράσεις προβλημάτων έχουν απλοποιηθεί με την ανάπτυξη διαφόρων τρόπων επίλυσης τους. Έτσι αφαιρώντας τον αριθμό 10 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης έχουμε </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με το χειρισμό παραστάσεων οι οποίες περιέχουν αγνώστους ονομάζεται Άλγεβρα, και μπορεί να θεωρηθεί σαν η γενικευμένη μορφή της αριθμητικής.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο όρος Άλγεβρα προέρχεται από το τίτλο του έργου:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">«Συνοπτικό βιβλίο υπολογισμών με συμπλήρωση και εξίσωση» ενός άραβα μαθηματικού από τη Βαγδάτη.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αραβική λέξη al-jabr σημαίνει μεταφορικά στο συγκεκριμένο βιβλίο:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">αποκατάσταση-συμπλήρωση </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-ενώ κυριολεκτικά: η θέση των οστών-και αναφέρεται στη τεχνική απλοποίησης μιας εξίσωσης με αφαίρεση ίσης ποσότητας και από τα δύο μέλη της. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο τρίτος κλάδος των απλών μαθηματικών είναι η γεωμετρία, που αποτελεί την έρευνα των σχέσεων που διέπουν το μήκος τις γωνίες τις επιφάνειες και τον όγκο, καθώς και το συσχετισμό τους με τα σχήματα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα μαθηματικά για κάποιο διάστημα θεωρούνταν κλάδος της φυσικής. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η γεωμετρία για παράδειγμα θεωρήθηκε μέθοδος ερμηνείας του χώρου, κατά τον ίδιο τρόπο που η χημεία ερευνά τις ιδιότητες των ουσιών, γεγονός όμως που δεν ισχύει.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα αποτελέσματα του γεωμετρικού συλλογισμού είναι αληθή μόνο όταν και οι αρχικές υποθέσεις είναι αληθείς.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Στη πραγματικότητα στις αρχές του 19ου αιώνα έγινε αντιληπτό ότι η απλή γεωμετρία δεν αποτελεί σωστή περιγραφή του χώρου [βλέπε σύγχρονη γεωμετρία].</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ανάλογα η άλγεβρα δεν περιορίζεται αυστηρά στους αριθμούς. Απλό παράδειγμα αποτελεί η προσθήκη της έννοιας της μετατόπισης στο χώρο στην απλή πρόσθεση διαστημάτων του χώρου.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πχ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αν ένας άνθρωπος περπατήσει 12 χιλιόμετρα ανατολικά και στη συνέχεια κάνει στροφή 5 χιλιόμετρα νότια, έχει περπατήσει συνολικά, 17 χιλιόμετρα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η μετατόπιση του όμως από το σημείο έναρξης έως το τερματισμό δεν είναι 12+5=17</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι μετατοπίσεις όμως είναι ποσότητες που εξαρτώνται απο το που πήγες, δηλαδή χρειάζονται τόσο την ποσότητα της μετακίνησης όσο και τον καθορισμό της κατεύθυνσης τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτού του είδους τα μεγέθη λέγονται διανυσματικά μεγέθη και οι ιδιότητες και οι πράξεις μεταξύ τους καθορίζονται από ένα ιδιαίτερο κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται Διανυσματική άλγεβρα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Βάσει της άλγεβρας και της γεωμετρίας</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">αναπτύχθηκαν και άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, όπως ο λογισμός που ασχολείται με θέματα όπως ο ρυθμός μεταβολής ποσοτήτων και στηρίζεται στην έννοια του ορίου. Το όριο είναι η τιμή στην οποία τείνει να φτάσει μια μαθηματική παράσταση, όσο οι μεταβλητές της γίνονται απείρως μεγάλες ή μικρές.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η άλγεβρα εφαρμόστηκε επίσης στη γεωμετρία με τη γέννηση των τομέων της αναλυτικής γεωμετρίας και της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η γεωμετρία γενικεύτηκε περισσότερο με τη μελέτη των σχημάτων και των μορφών την τοπολογία.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Σήμερα Καθαρά μαθηματικά λέγονται οι μελέτες θεωρητικών συστημάτων με επίσημες μεθόδους τα οποία δεν αποτελούν κλάδο της φυσικής.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ενώ Εφαρμοσμένα μαθηματικά χαρακτηρίζονται τα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται στις επιστήμες και στο εμπόριο. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2.Η προέλευση των μαθηματικών</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε πότε ακριβώς γεννήθηκε η επιστήμη των μαθηματικών, αλλά είναι ευνόητο ότι ακολούθησε την εμφάνιση της έννοιας του αριθμού.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Με την εμφάνιση της έννοιας αυτής, ο άνθρωπος μπόρεσε να διακρίνει τη διαφορά μεταξύ του «ενός» και των «πολλών». Υπάρχουν ενδείξεις ότι το επόμενο βήμα ήταν ο διαχωρισμός μεταξύ του «ενός» των «δύο» και των «περισσότερων από δύο». Στη συνέχεια ακολούθησε η μέτρηση με την ένα προς ένα αντιστοιχία αντικειμένων με άλλα αντικείμενα (όπως τα δάκτυλα).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι μετρήσεις αυτές καταγράφονταν, για παράδειγμα με τη χρήση σωρών από πέτρες ή μύτες βελών στα οποία δίνονταν ονόματα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αρχικά οι αριθμοί ήταν συνυφασμένοι με τα αντικείμενα τις ποσότητες των οποίων περιέγραφαν: πέντε άνθρωποι, δυο ζώα, τρία φυτά, τέσσερις πέτρες, κλπ.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αργότερα ακολούθησε η ανάπτυξη των θεωρητικών εννοιών «τρία» «τέσσερα»</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κλπ.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πολλοί υποστηρίζουν ότι η χρήση της μέτρησης άρχισε λόγω ανάγκης διάκρισης των αγαθών και των ποσοτήτων, άλλοι πάλι ότι αναπτύχθηκαν από τις πρώτες θρησκευτικές τελετουργικές βαθμίδες και ήταν τακτικά αριθμητικά πρώτος δεύτερος τρίτος κλπ και στη συνέχεια απόλυτοι αριθμοί (ένα δύο τρία).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">3.Οι πρώτες ιστορικές ανακαλύψεις</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η επιστήμη των μαθηματικών άρχισε να αναπτύσσεται ανεξάρτητα σε διάφορα μέρη του κόσμου.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Όσον αφορά την αριθμητική και τη γεωμετρία πολιτισμοί με πρακτικά θέματα όπως το μοίρασμα της γης μετά τις πλημμύρες του Νείλου στον Αιγυπτιακό, και τις εμπορικές συναλλαγές στη πολυεθνική Βαβέλ του Μεσοποταμιακού, έδωσαν μια άμεση ώθηση στις πρακτικές της αριθμητικής και της γεωμετρίας που μπορούσαν να δώσουν λύσεις.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Από ότι φαίνεται όμως τα μαθηματικά σαν ιερή πνευματική ενασχόληση απασχόλησε τον Ελληνικό πολιτισμό ο οποίος την κατέστησε από μια απλή πρακτική σε επιστήμη και μάλιστα σε εξαιρετικά σύντομο -αναλογικά- διάστημα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτό για μένα δε σημαίνει ότι ήρθαν τελευταίοι οι εξυπνότεροι και οι καλύτεροι και τα έκαναν όλα όπως έπρεπε σε χρόνο ελάχιστο και με τεράστια εμβάθυνση, αντιθέτως μου κινεί τις υποψίες για την εγκυρότητα της υποτιθέμενης ιστορικής αλήθειας που διδάσκεται στα σχολεία του κόσμου. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι υποτιθέμενοι ιστορικοί μας δίνουν μια εικόνα μεταλαμπάδευσης πνεύματος από τους πιο παλιούς πολιτισμούς προς τους πιο νέους. Αυτές τις ανοησίες μαθαίνουν ακόμη τα παιδιά στο σχολείο. Λέω ανοησίες γιατί δεν ξέρουμε ποιος πολιτισμός είναι πρώτος και ποιος ύστερος καθώς χάνονται όλοι σε προϊστορικά χρονικά πεδία. Άρα αυτό είναι μια απλή εικασία -ή μήπως δοξασία- όπως και τόσες άλλες που επικράτησαν επειδή βολεύουν κάποιους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η σύγχρονη αρχαιολογική σκαπάνη άλλα μας λέει:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-βλέπε ανασκαφή στο σπήλαιο Πετραλώνων Χαλκιδικής- ο άνθρωπος ζει στην Ελλάδα εκατομμύρια χρόνια, καλλιεργώντας σιτάρι και έχοντας φωτιά.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Άρα ότι διδασκόμαστε για ινδοευρωπαίους και λοιπά είναι τουλάχιστον ανοησίες.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Επιπλέον ορίζει ανεξάρτητα κέντρα μαθηματικής ανάπτυξης σε κάθε πολιτισμό ακόμη και χωρίς καμία επαφή με τους υπόλοιπους παλιότερους ή και σύγχρονους τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Διαφαίνεται έτσι μια πηγαία αναγκαιότητα, στον τρόπο που κατανοεί το περιβάλλον του και τη δομή του κόσμου ο άνθρωπος, όπως γίνεται αργότερα με τη λογική και τη ψυχολογία είναι απλά ο τρόπος που λειτουργούμε.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι αλληλουχίες του τύπου: πρώτοι ανακάλυψαν τα μαθηματικά οι Μεσοποτάμιοι μετά πήραν τη σκυτάλη οι Αιγύπτιοι και από αυτούς οι Έλληνες... είναι αστήρικτη φαιδρή και το κυριότερο πιστεύω ότι υπηρετεί σκοπιμότητες αφού και οι τρεις πολιτισμοί χάνονται στη προϊστορική περίοδο και δεν ξέρουμε ούτε ποιος υπήρξε πρώτος χρονικά ούτε αν έρχονταν σε επαφή μεταξύ τους πριν από το λεγόμενο ιστορικό διάστημα ούτε ποιός επηρέασε ποιόν και σε ποιό βαθμό. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Έτσι δεν καταλαβαίνω γιατί να μην αποδεχτούμε αυθαίρετα την επίσης αστήρικτη άποψη ότι και οι τρείς κλάδοι του πολιτισμού είναι μέρη ενός πολύ βαθύτερου ενιαίου προκατακλυσμιαίου πολιτισμού κορμού όπου όλος ο κόσμος είχε μεταξύ του επαφές όπως εμείς σήμερα και ήταν εξίσου ή και περισσότερο τεχνολογικά ανεπτυγμένος από το σημερινό, αν και σε διαφορετική βάση. Μιλάμε για εκατομμύρια χρόνια άγνωστων διεργασιών και ο δικός μας αριθμεί ιστορικά καταγεγραμμένα περί τα 6.000 χρόνια μπορεί μάλιστα να υπάρχουνε δυνατότητες για εκατοντάδες τέτοιες ανεξάρτητες εξελίξεις με αυτή τη παραδοχή.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Προσωπικά η ιστορία δε με διδάσκει ότι υπήρξαν σκυταλοδρομίες πολιτισμικές αλλά κατάργηση και μάλιστα βίαιη </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">[ λόγω: πολέμου-ανθρώπινος παράγοντας- ηφαιστείου, αστεροειδούς, κατακλυσμού -λιώσιμο των πάγων-, και άλλων απίθανων περιπτώσεων] </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">και από το μηδέν επανεκκίνηση προς νέες κατευθύνσεις ώστε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ξανά και ξανά και ξανά να ανακαλύπτεται ο τροχός γιατί δεν μαθαίνουμε από τα λάθη μας και παρόλα αυτά μας χρειάζεται.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτό πιστεύω πως γίνεται λοιπόν σε σχέση με τα ευρήματα σε Μεσοποταμία σε Αίγυπτο και Ελλάδα που όντως έχουν διαφορετική χρονολογική σειρά αλλά δεν αποδεικνύουν τη σειρά ύπαρξης των εξελίξεων.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Εξάλλου αυτό φαίνεται και στα συμπεράσματα των ειδικών για τα συγκεκριμένα ευρήματα. Αποδεικνύεται λόγου χάρη ότι οι πάπυροι του Ρίντ ή Αχμές-1650πΧ- και της Μόσχας-1850πΧ- που σώθηκαν δεν δείχνουν μεγάλη μαθηματική πρόοδο των Αιγυπτίων όπως είκαζαν οι ιστορικοί που προανέφερα οι οποίοι μιλούσαν για «αξιοθαύμαστη πρόοδο στα μαθηματικά από τους Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους».</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα περισσότερα από τα προβλήματα που αναφέρονται στους πάπυρους ήταν πρακτικά και πραγματεύονται ερωτήματα του τύπου «πως μπορούν να μοιραστούν 1,2,6,7,8,9 φρατζόλες ψωμί ανάμεσα σε 10 ανθρώπους σε ίσες μερίδες;»</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η εξαίρεση είναι ερωτήματα γενικά όπως:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">«Ποιά η ποσότητα που όταν προστεθεί στο ένα τέταρτο αυτής δίνει το δεκαπέντε;»</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Που αντιστοιχεί στην εξίσωση</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">χ+1/4χ=15 </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι δε βαβυλωνιακές μαθηματικές πλάκες που σώθηκαν προέρχονται από τη βαβυλωνιακή περίοδο 1600πΧ και κάποιες από τη περίοδο των Σελευκιδών 300πΧ και μετά.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Σε πολλές βαβυλωνιακές πλάκες περιέχονται πίνακες πολλαπλασιασμών και άλλων μαθηματικών πράξεων, ενώ σε άλλες περιέχονται περιγραφές διαφόρων μεθόδων επίλυσης προβλημάτων.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κάποιες τεχνικές μάλιστα χρησιμοποιούνται ακόμη σήμερα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για παράδειγμα στο ερώτημα: «Ποιός είναι ο αριθμός ο οποίος αν αφαιρεθεί από το τετράγωνο του εαυτού του δίνει 870;»</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Που ισοδυναμεί με την εξίσωση: </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">[Χ.Χ]-Χ=870 η λύση Χ=30 επιτυγχάνεται</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">με τη χρήση μιας μεθόδου η οποία είναι γνωστή ως «Η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου».</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Όπως προκύπτει τα αιγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά είχαν στενά πρακτικό προσανατολισμό και χαρακτήρα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κάτω από εντελώς διαφορετικό πρίσμα αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά στον Ελληνικό πολιτισμό του οποίου η συνεισφορά αδιαμφισβήτητα επηρέασε αφού προέβη στη δημιουργία της Μαθηματικής Επιστήμης όπως την αντιλαμβανόμαστε σήμερα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτό το πέτυχε αναπτύσσοντας την έννοια της αυστηρής απόδειξης.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η έννοια αυτή φαίνεται ότι δεν απασχόλησε τους μαθηματικούς άλλων πολιτισμών, οι οποίοι γενικά ασχολούνταν με τη διατύπωση και την εξέταση αξιόπιστων κανόνων(αλγορίθμων)και τη κατάλληλη εφαρμογή τους</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η έννοια της απόδειξης αναδύθηκε νωρίς στον Ελληνικό πολιτισμό καθιερώθηκε όμως από τον Ευκλείδη με το έργο του «Στοιχεία» (300πΧ) έργο σταθμός στην ιστορία των επιστημών που έχει ξεπεράσει σε τύπωμα το πιο πολυ-τυπωμένο έργο στο χριστιανικό κόσμο τη Βίβλο και που δεν νοείται μαθηματικός να μην το έχει στη βιβλιοθήκη του!</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-Αλήθεια από ποιόν εκδοτικό οίκο τυπώνεται σήμερα στην Ελλάδα αρχαίο κείμενο και μετάφραση; </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Από κανέναν απαντώ μετά από γρήγορη ματιά που έριξα στο διαδίκτυο.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οπότε θα το βρούμε από παλιότερη έκδοση και θα το παρέχουμε στους φιλομαθείς αναρτώντας το-</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Εκτός από τον Ευκλείδη εξέχουσα θέση στους πάρα πολλούς μεγάλους μαθηματικούς Έλληνες κατέχουν οι:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-Απολλώνιος ο Περγαίος,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">(262-190πΧ) που διαδέχθηκε τον Ευκλείδη και έγραψε το περίφημο έργο «Κωνικές τομές»</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-Αρχιμήδης ο Συρακούσιος,(287-212πΧ)που θεωρείται ο σπουδαιότερος</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">μαθηματικός της αρχαιότητας. Σώθηκε μεγάλο μέρος του έργου του που περιλαμβάνει τη μέθοδο μέτρησης εμβαδού επιφανείας κύκλου και άλλων καμπυλόγραμμων σχημάτων -είναι όμως γνωστότερος για τη τεράστια συνεισφορά του στη Φυσική είναι γνωστό το Εύρηκα για το νόμο της άνωσης-</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">-Διόφαντος ο Αλεξανδρείας,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">που έγραψε το πρώτο σημαντικό έργο αριθμητικής με τον ομώνυμο τίτλο </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">«Αριθμητική».</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Από τη παράδοση της μαθηματικής πρακτικής δεν λείπουν και οι πολιτισμοί της άπω Ανατολής Κίνας -από το 300πΧ- και Ινδίας -500μΧ- που συνέβαλαν σε πολλούς τομείς της αριθμητικής με γνωστότερη τη διερεύνηση των λεγόμενων μαγικών τετραγώνων.Για τους Ινδούς διανοητές θα πρέπει να γίνει ειδική μνεία γιατί συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη και την εξάπλωση της ινδο-αραβικής γραφής των αριθμών και στην αναμόρφωση της τριγωνομετρίας. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το έργο του Πτολεμαίου «πίνακες»και του Αρζαμπάρ «Αρυαμπ-χατιγιάμ» (475-550) είναι οι πρόδρομοι της τριγωνομετρίας.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Με την παρακμή της Ευρώπης στο έκτο μετά Χριστού αιώνα-Μεσαίωνας- η επιστήμη των μαθηματικών σχεδόν εξαφανίστηκε. Τα έργα των Ελλήνων μεταφράστηκαν από τους άραβες με τους οποίους συνδέονται στο εξής με βαθιά φιλία εξαιτίας ακριβώς της μεταλαμπάδευσης πνεύματος που κάνει τους δυο πολιτισμούς αδελφοποιητούς. Η συνεισφορά των Αράβων στα μαθηματικά επικεντρώνεται στην Άλγεβρα και σηματοδοτήθηκε από έργα επιστημόνων όπως ο </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αλ Χουαριζμι.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κατά τη διάρκεια της κλασσικής περιόδου των Μάγια (300-900 μΧ) Πραγματοποιήθηκε μια ιδιαίτερη προσέγγιση των μαθηματικών φαίνεται να είναι οι πρώτοι που καθιέρωσαν μια κλίμακα αριθμών στην οποία ορίζεται το μηδέν. Το συμπέρασμα βγαίνει από τα ημερολόγια τους. Πιθανολογείται ότι η ανάγκη ανάπτυξης των μαθηματικών προκύπτει από τις δυσκολίες που δημιουργεί η χρήση δύο ημερολογίων και ο υπολογισμός των σχέσεων τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">4.Η Αναγέννηση</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μετά τις πρώτες σταυροφορίες και τα κλοπιμαία από αραβικές και βυζαντινές περιοχές όπου πλιατσικολογούσαν οι άγιοι άνθρωποι της Ευρώπης του μεσαίωνα μάλλον μαζί με τα χρυσά και αργυρά αντικείμενα κουβάλησαν και χρυσοποίκιλτα χειρόγραφα εκτός των άλλων, μνημειωδών έργων μαθηματικών και λοιπών επιστημών.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτή η περίοδος που με την εισαγωγή προσώπων και ειδών, φορέων πολιτισμού</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">αναγεννά το κουρελιασμένο πνεύμα των ευρωπαίων, κατακρεουργημένο από όλες εκείνες τις φαύλες φάρες των πρεσβευτών του Θεού επί γης που καίγανε τους ανθρώπους στο όνομα του Χριστού σαν πράξη ύψιστου θεολογικού πολιτισμού με έμβλημα: το πίστευε! και μη ερεύνα. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Από τη μεταλαμπάδευση πνεύματος προκύπτει το νέο έμβλημα που γίνεται: πίστευε και μη, ερεύνα!!!</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μια τρομερή ώθηση δίνεται τότε στις τέχνες και τις επιστήμες. - για τούτο ονομάζεται Αναγέννηση- </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα πρώτα πράγματα που έκαναν ήταν να μελετήσουν τα έργα της αρχαιότητας:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η πρώτη έκδοση</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">του Ευκλείδη το 1482,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">του Απολλώνιου το 1537 </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">του Αρχιμήδη το 1544</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">του Διοφάντη το 1575.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το αναγκαίο υπόβαθρο σοβαρής ανάπτυξης δηλαδή μια ενιαία ακριβέστατη μαθηματική γλώσσα μονοσήμαντων συμβόλων και εννοιών, έγινε κατορθωτό το δεύτερο μισό του 17ου αιώνα και συνδυάστηκε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">με το ινδοαραβικό σύστημα γραφής αριθμών που χρησιμοποιούμε μέχρι σήμερα, </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">την προετοιμασία του γάλλου μαθηματικού Φρασουά Βιετ 1540-1603 που εισήγαγε τα σύμβολα των γνωστών και αγνώστων και αντικατέστησε τη διατύπωση εξισώσεων για ειδικές περιπτώσεις από γενικευμένες εξισώσεις,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">τη μέθοδο επίλυσης τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Ιταλό Τζερόνιμο Καρντάνο που δημοσίευσε το έργο του Μεγάλη Τέχνη 1545 στο οποίο περιέχεται η μέθοδος λύσης τριτοβάθμιων εξισώσεων [αχ3+βχ2+γχ=0].</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">5-τα σύγχρονα μαθηματικά</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αρχή των σύγχρονων μαθηματικών τίθεται από πλήθος μεγάλων επιστημόνων μετά το 17ο αιώνα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο Πιέρ Φερμά 1601-1624 ένας νέος γάλλος δικηγόρος περνούσε τον ελεύθερο χρόνο του μελετώντας μαθηματικά διατύπωσε «τη θεωρία των αριθμών» σύγχρονος του ήταν ο Ρενέ Ντεκάρτ 1596-1650 ο οποίος δημοσίευσε την επαναστατική του εργασία «Η Γεωμετρία» στην οποία πραγματεύτηκε τη σύνδεση γεωμετρίας και άλγεβρας. Η καινοτομία του Ντεκάρτ ήταν ο συμβολισμός σημείων με αριθμούς οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις αποστάσεις από σύστημα αναφοράς άξονες-ευθείες γραμμές.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Με αυτό το τρόπο οι καμπύλες μπορούν να περιγραφούν από αλγεβρικές εξισώσεις, οι συμβολισμοί αυτοί είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες και καθιερώθηκαν από το γερμανό καθηγητή Γκοντφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">(1646-1716) </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">το δέκατο έβδομο αιώνα γίνεται η πρώτη απόπειρα λύσης προβλημάτων με μαθηματικό λογισμό. Ήταν μια εποχή που οι μαθηματικοί πάσχιζαν για τη λύση προβλημάτων που σχετίζονταν με κλίσεις, μήκη και επιφάνειες καμπυλών. Οι μαθηματικοί πριν από τον</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ισαάκ Νεύτωνα (1643-1727)</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">πρότειναν λύσεις προβλημάτων που αναφέρονταν σε ειδικές περιπτώσεις καμπυλών , αδυνατώντας να προτείνουν μια γενική μέθοδο, η οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε όλες τις καμπύλες. Παρόλο που οι μαθηματικές θεωρίες του Νεύτωνα είχαν διαμορφωθεί ήδη το 1669, έμειναν κατά ένα μεγάλο μέρος αδημοσίευτες, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί μια οδυνηρή διαμάχη γύρω από αυτές , αφού με τα ίδια επιστημονικά θέματα ασχολήθηκε και ο Λάιμπνιτς.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">το έργο αυτών των δύο συνέχισε ο Ελβετός Λέοναρντ Όυλερ(1703-1787)</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ο Γάλλος Ζόζεφ Λουί Λαγκράνζ(1763-1813) ο Ωγκυστέν Κωσύ (1789-1815)</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">και ο Κάρλ Βάιερστρας (1815-1897).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κατά τη δεκαετία του 1820 ο Κωσύ επιχειρηματολογούσε υπέρ της καθιέρωσης της έννοιας του ορίου. Οι απειροελάχιστες ποσότητες θεωρούνταν πλέον όχι απείρως μικρές τιμές αριθμών, αλλά μεταβλητές ποσότητες, οι τιμές των οποίων τείνουν στο όριο του μηδενός. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">6-Γεωμετρία</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μετά τις πρώτες θεωρίες του Ευκλείδη, η γεωμετρία αναπτύχθηκε από διάφορους μαθηματικούς με πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις. Παράλληλα με την ανάπτυξη της γεωμετρίας των συντεταγμένων(Αναλυτική γεωμετρία)που σημειώθηκε κατά το 17ο αιώνα ο Ζιράρ Ντεζάργκ (1591-1661) διατύπωσε την θεωρία της Προβολικής γεωμετρίας που αναφέρεται στις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αμετάβλητες κατά τη προβολή τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κατά τον 19ο αιώνα κάνουν την εμφάνιση τους διάφορες μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Η γεωμετρία γενικά ως επιστήμη γίνεται περισσότερο θεωρητική και αλγεβρική -αριθμητική-.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρτ Ρήμαν(1826-1866) </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">μάλιστα σε μια διάλεξη του το 1854 υποστήριξε ότι η γεωμετρία ήταν η επιστήμη του πολυδιάστατου χώρου.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μια νέα προέκταση της γεωμετρίας ήταν η τοπολογία η οποία διαμορφώθηκε από το Γάλλο μαθηματικό</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ζύλ Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η τοπολογία αποτελεί τον κλάδο της γεωμετρίας ο οποίος μελετά τις ιδιότητες των σωμάτων που παραμένουν αμετάβλητες παρά τις αλλαγές σε μέγεθος ή το σχήμα. Η πρώτη συστηματική μελέτη του κλάδου αυτού έγινε από τον Πουανκαρέ στο έργο του "Ανάλυση Θέσεως".</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">7-'Αλγεβρα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">κατά το 19ο διατυπώθηκαν πολλές έννοιες που έφεραν την επανάσταση στο τομέα της άλγεβρας, μια από αυτές ήταν η έννοια της ομάδας που επινοήθηκε από το Γάλλο</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Έβαριστ Γκαλουά (1811-1832).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ο Τζώρτζ Μπούλ αποκάλυψε τη γενικότητα της άλγεβρας με την εφαρμογή της στη λογική των συνόλων-θεωρητική άλγεβρα-.Το θέμα αυτό αναπτύχθηκε στοιχειωδώς από το Μπούλ και άλλους επιστήμονες, ενώ πιο βαθιά μελέτη έγινε αργότερα από το</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Γκέοργκ Κάντορ (1845-1918).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τον εικοστό αιώνα το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στις λογικές θεμελιώδης αρχές των μαθηματικών, τα οποία αποκτούν νέα διάσταση με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οι οποίοι χρησιμοποιούνται τόσο στα εφαρμοσμένα όσο και στα θεωρητικά μαθηματικά.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΡΙΘΜΟΙ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1-ψηφία</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2-συστήματα αρίθμησης</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">3-κλάσματα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">4-δεκαδικά κλάσματα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1.Ψηφία</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι πρώτοι τρόποι γραφής των αριθμών περιλαμβάνουν σύμβολα, τα οποία συχνά ομαδοποιούνταν.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για τους μεγάλους αριθμούς ήταν απαραίτητο ένα συμβολικό σύστημα ομαδοποίησης, στο οποίο χρησιμοποιείται ένα συγκεκριμένο σύμβολο ως μονάδα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τα γράμματα του αλφαβήτου:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">α=1, β=2,γ=3,δ=4, ε=5, ς=6, ζ=7, η=8, θ=9 </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ενώ </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ι=10, κ=20, λ=30 μ=40,ν=50, ξ=60, ο=70, π=80, Ζ=90[κόππα]</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ενώ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ρ=100,σ=200,τ=300,υ=400,φ=500, χ=600,ψ=700, ω=800, /)=900[σαμπί]</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ενώ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">,α=1000, ,β=2000, ,γ=3000, ,δ=4000,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">,ε=5000, ,ς=6000 και ούτω καθ’ εξής.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Στο ρωμαϊκό σύστημα ψηφίων το ψηφίο Ι είναι το ένα ΙΙ το δύο, ΙΙΙ το τρία,IV το τέσσερα,V το πέντε,VI=6 VII=7, VIII=8</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">VIV=9, X=10.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">VIV=9, X=10.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το ρωμαϊκό σύστημα δεν ήταν ιδιαίτερα εύχρηστο</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Δείτε πως γράφονταν το 4321 στο ρωμαϊκό:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">MMMMCCCXXI</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ενώ στο Ελληνικό:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">,δτκα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πολύ καλύτερο σύστημα συμβόλων είναι το καθορισμένο από τη θέση σύστημα-ή σύστημα θέσης- στο οποίο ανήκει το 4321.Το σύστημα αυτό έχει διαφορετική θέση για τις χιλιάδες τις εκατοντάδες τις δεκάδες και για τις μονάδες.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται είναι τα ίδια, αλλά οι διαφορές των ομάδων αυτών υποδεικνύονται από τη θέση των ψηφίων.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Έτσι το 4321 μπορεί να γραφτεί:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">[4x(10x10x10)]+[3x(10x10)]+[2x10]+1</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτό το σύστημα γραφής αριθμών λέγεται δεκαδικό σύστημα επειδή στηρίζεται στον αριθμό δέκα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ένα σύστημα με βάση το δέκα χρειάζεται 10 σύμβολα(Ψηφία)τα οποία να εκφράζουν τους αντίστοιχους μοναδιαίους αριθμούς δηλαδή το 1-9 μαζί με το σύμβολο του μηδενός 0.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το μηδέν είναι απαραίτητο για ένα αριθμητικό σύστημα, γιατί χωρίς αυτό, για παράδειγμα ο συμβολισμός 18 θα σήμαινε οποιοδήποτε από τα 18,108,180,1800,1080 και λοιπά.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η εισαγωγή του μηδενός στα μαθηματικά ήταν ένα κρίσιμο βήμα στην εξέλιξη της επιστήμης.Εμφανίστηκε ανεξάρτητα και ταυτόχρονα στα 600μΧ σε δύο αντίθετα σημεία της γής Ινδία και Κεντρική Αμερική.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι αρνητικοί αριθμοί που είναι μικρότεροι του μηδενός ήταν γνωστοί στους κινέζους από το 300πΧ Στους υπολογισμούς οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν ράβδους οι οποίες είχαν κόκκινο χρώμα για τους θετικούς αριθμούς και μαύρο για τους αρνητικούς αριθμούς.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών και του μηδενός αποδίδεται στον Βραχαγκούπτα ο οποίος έζησε στην Ινδία γύρω στο 528μΧ.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2.Άλλα συστήματα αρίθμησης </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η εκτεταμένη χρήση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης δεν οφείλεται σε συγκεκριμένο λόγο. Το πιο απλό σύστημα αρίθμησης είναι το δυαδικό που έχει ως βάση το δύο(2).Ανάλογα με το δεκαδικό σύστημα, το οποίο χρειάζεται δέκα σύμβολα για τον καθορισμό του το δυαδικό σύστημα χρειάζεται μόνο το 2,το 1 και το 0.Όπως ακριβώς το δεκαδικό χρησιμοποιεί ομάδες των 10 πχ δέκα, εκατό, χίλια κλπ έτσι και το δυαδικό χρησιμοποιεί δυάδες: δυο, τέσσερα, οκτώ, δεκαέξι, τριάντα δυο κλπ΄</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Έτσι το δυαδικό σύστημα το μηδέν είναι μηδέν κα το ένα 1 ενώ, το δύο γίνεται 10,το τρία 11 το τέσσερα 100,το πέντε είναι το 101, το έξι 110, το επτά 111, το οκτώ 1000 κλπ.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Είναι φανερό ότι το δυαδικό σύστημα είναι δύσχρηστο λόγω των μεγάλων αλυσίδων από μηδενικά και μονάδες που αποτελούν τους αριθμούς.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Έχει όμως ένα τεράστιο πλεονέκτημα και για αυτό βρήκε τεράστια εφαρμογή στη τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών, το πλεονέκτημα είναι ότι αντιπροσωπεύει ακριβέστερα από κάθε άλλο τη λογική των κυκλωμάτων δηλαδή ανοικτό-κλειστό-ο,1-</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κάθε τέτοια δυάδα 0,1 ονομάζεται ΒΙΤ και χρησιμοποιείται σαν μονάδα καταχώρησης πληροφοριών και μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την έκφραση της ανοικτής ή κλειστής λειτουργίας των λογικών θυρών.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα προγράμματα των ηλεκτρονικών υπολογιστών πολλές φορές χρησιμοποιούν αριθμητικά συστήματα μεγαλύτερων βάσεων όπως το οκταδικό σύστημα, του οποίου η βάση είναι το οκτώ και αποτελείται απο τα ψηφία 0 και 1-7.Οι προγραμματιστές χρησιμοποιούν επίσης το δεκαεξαδικό σύστημα βάση του οποίου είναι το δεκαέξι όπου τα δεκαέξι του ψηψία είναι 0,1-9,Α,Β,Γ,Δ,Ε,ΣΤ όπου το Α=10 Β=11 Γ=12 Δ=13 Ε=14 ΣΤ=15 10=16 και το 100=256 ενώ το 10Α=266.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">3.Κλάσματα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κλάσμα λέγεται ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση ενός αριθμού από κάποιον άλλο,συνήθως τα κλάσματα συμβολίζονται με τη μορφή 1/2.Στο κλάσμα της μορφής α/β ο άλφα λέγεται αριθμητής και ο βήτα παρονομαστής ή διαιρέτης.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα κλάσματα μπορούν να διακριθούν σε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Γνήσια κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή και αντιστοιχεί στην εικόνα που έχουμε από το μοίρασμα μιας ποσότητας πραγμάτων και στα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Καταχρηστικά κλάσματα στα οποία ο παρονομαστής είναι μικρότερος του αριθμητή οπότε από τη διαίρεση προκύπτει ένας μικτός αριθμός ακέραιος και κλάσμα μαζί. πχ 4/3=1+1/3 πρόκειται τότε για ένα μεικτό κλάσμα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">4.Δεκαδικά κλάσματα</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Με την αυστηρή έννοια του όρου, δεκαδικός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να παρασταθεί ως βάση του δέκα. Συνήθως όμως ο όρος χρησιμοποιείται για κλάσματα τα οποία παριστάνονται ως βάσεις του δέκα, δηλαδή για δεκαδικά κλάσματα. Όπως οι ακέραιοι αριθμοί ομαδοποιούνται σε δεκάδες εκατοντάδες χιλιάδες κλπ έτσι και τα δεκαδικά κλάσματα ομαδοποιούνται σε δέκατα εκατοστά χιλιοστά κλπ Ένας δεκαδικός αριθμός που παριστάνεται με τη μορφή 0,5 είναι πέντε δέκατα 5/10 ενώ το 0,05 είναι 5/100</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ένας αριθμός όπως το 128,836 είναι ένα μικτό δεκαδικό κλάσμα και αντιπροσωπεύει τη παράσταση:(1x100)+(2x10)+(7x1)+(8x1/10)+(3x1/100)+(6x1/1000)</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ένας δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει σταθερό πλήθος ψηφίων. Για παράδειγμα ο αριθμός 5/8 είναι ίσος με 0,625 τέτοιοι δεκαδικοί λέγονται τερματιζόμενοι ή πεπερασμένοι δεκαδικοί αριθμοί.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αν μάλιστα μετά την υποδιαστολή έχει άπειρο αριθμό ψηφίων τότε λέγεται άπειρος ή μη τερματιζόμενος δεκαδικός.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Οι άπειροι δεκαδικοί διακρίνονται σε επαναληπτικούς όπου επαναλαμβάνεται ένα ψηφίο και σε περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς που επαναλαμβάνεται μια ομάδα ψηφίων στη κατάληξη.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Κάποιοι δεκαδικοί είναι άπειροι χωρίς να είναι επαναλαμβανόμενοι ή περιοδικοί και ονομάζονται μη περιοδικοί δεκαδικοί.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ"</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1.Αριθμητική,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2.Άλγεβρα,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">3.οι νόμοι των πράξεων,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">4.δυνάμεις και ρίζες, παράγοντες,</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">5.κλάσματα, </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">6.λόγος και αναλογία, </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">7.πολυώνυμα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">1.Η Αριθμητική</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αριθμητική είναι ο απλός κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τους αριθμούς και τους τρόπους με τους οποίους αυτοί μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αποτελεί ουσιαστικά πρακτικό αντικείμενο επεξεργασίας, που εφαρμόζεται σε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων ή ποσοτήτων και διακρίνεται από τη θεωρητική μελέτη των αριθμών.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αριθμητική περιλαμβάνει τέσσερις πράξεις, που είναι γνωστές ως πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμός και διαίρεση.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πρόσθεση, η πιο βασική από τις τέσσερις πράξεις, κατά την οποία ένας αριθμός αυξάνεται κατά έναν άλλο αριθμό όπως για παράδειγμα 2+3=5.Το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται "άθροισμα" στο παράδειγμα είναι το 5 ,ενώ οι αριθμοί 2,3 λέγονται "προσθετέοι".</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αφαίρεση , αποτελεί πράξη αντίθετη της πρόσθεσης, είναι δηλαδή η μείωση ενός αριθμού κατά έναν άλλο αριθμό, πχ 5-3=2 το αποτέλεσμα της αφαίρεσης λέγεται "διαφορά"στο παράδειγμα είναι το 2, και ο αριθμός που αφαιρείται λέγεται "αφαιρετέος" εδώ ο 3.Η αφαίρεση θεωρείται η αντίστροφη της πρόσθεσης [δηλαδή 2+3=5 και 5-3=2] και η πρόσθεση αντίστροφη της αφαίρεσης. Μια σημαντική διαφορά μεταξύ της πρόσθεσης και της αφαίρεσης είναι ότι, κατά την πρόσθεση δύο φυσικών αριθμών [θετικών ακέραιων] το αποτέλεσμα είναι πάντα ένας άλλος φυσικός αριθμός . Αυτό όμως δεν συμβαίνει απαραίτητα κατά την πράξη της αφαίρεσης: η διαφορά 2-5 είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός (-3).</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αφαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της πρόσθεσης κατά την οποία ο αριθμός ο οποίος προστίθεται είναι αρνητικός δηλαδή 5-3=5+(-3) όμοια και η αφαίρεση ενός αρνητικού αριθμού ισοδυναμεί με πρόσθεση δηλαδή 5-(-3)=5+3.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η πράξη της αφαίρεσης οδήγησε στη διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης, που συμπεριέλαβε εκτός από τους θετικούς αριθμούς και τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Πολλαπλασιασμός. Η πράξη αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση: το 9Χ5 είναι ισοδύναμο με 9+9+9+9+9 το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι γνωστό σαν "γινόμενο" δηλαδή στη περίπτωση 9x5=45 γινόμενο είναι το 45 ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται ο 9 λέγεται πολλαπλασιαστέος ενώ αυτός που τον πολλαπλασιάζει ο 5 λέγεται πολλαπλασιαστής.Στη πραγματικότητα όπως και στη πρόσθεση η σειρά των όρων δεν έχει μεγάλη σημασία 9x5 =5x9 οπότε και οι δύο όροι μπορούν να θεωρούνται πολλαπλασιαστές.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Διαίρεση .Όπως η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης, έτσι και η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή η πράξη 12:4=3 είναι το αντίστροφο της πράξης 4x3=12.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ονομάζεται "πηλίκο". Στην περίπτωση του παραδείγματος, το 3 είναι το πηλίκο της πράξης 12 δια 3 όπου τον αριθμό που διαιρείται(12) τον λέμε διαιρετέο και αυτόν που τον διαιρεί (4)τον λέμε διαιρέτη. Η διαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη αφαίρεση.Για παράδειγμα το 4 μπορεί να μπορεί να αφαιρεθεί τρεις φορές ακριβώς απο το δώδεκα.Δεν είναι όμως όλες οι διαιρέσεις ακριβείς -με ακέραιο πηλίκο- έτσι στη περίπτωση 13:4=3+(1:4)=3+1/4 όπου το επιπλέον κομμάτι πχ το 1/4 το λέμε υπόλοιπο.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η διαίρεση οδήγησε σε περαιτέρω διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης με την προσθήκη των κλασμάτων.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">2.ΑΛΓΕΒΡΑ</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η αριθμητική ασχολείται με τους υπολογισμούς των αριθμών κυρίως σε μεμονωμένες περιπτώσεις. Για παράδειγμα αν ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει με 60 χιλιόμετρα την ώρα για τρείς ώρες καλύπτει μια απόσταση 180 χιλιομέτρων 60χ30=180 αν ταξιδεύει με 100 χιλιόμετρα την ώρα για τέσσερις ώρες, καλύπτει μια απόσταση 400 χιλιομέτρων 100x4=400.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Η Άλγεβρα αποτελεί τη γενικευμένη μορφή της αριθμητικής. Στην άλγεβρα χρησιμοποιούνται σύμβολα τα οποία αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Η γενική σχέση που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή των παρακάτω παραδειγμάτων είναι η εξής:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">απόσταση που διανύθηκε (ς)=ταχύτητα(v)x χρόνος που απαιτήθηκε(t) H σχέση αυτή συμβατικά περιγράφεται με τα σύμβολα s=vt</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">όπου: ς είναι η ταχύτητα, v η απόσταση, και t o χρόνος</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">[το γινόμενο vxt γράφεται χωρίς το σημείο του πολλαπλασιασμού x ή . ]</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτό αποτελεί ένα παράδειγμα εξίσωσης , στην οποία τα ς , v, t μπορούν να έχουν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή από μια συγκεκριμένη περιοχή.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μια έκφραση όπως η παραπάνω αποτελεί μια πολύ πιο γενική έκφραση από ότι η αριθμητική έκφραση τους. Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα περιλαμβάνει απόσταση ταχύτητα και χρόνο όταν τα δύο είναι γνωστά και το τρίτο άγνωστο οπότε μπορεί να υπολογιστεί με βάση τη σχέση τους.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Επιπλέον τέτοιου είδους εκφράσεις μπορούν να ανασχηματιστούν ώστε να προκύψουν διαφορετικές σχέσεις. Διαιρώντας τις δύο πλευρές της παραπάνω σχέσης με v δίνει:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">s/v=vt/v=t που σημαίνει ότι ο χρόνος προκύπτει αν διαιρεθεί η απόσταση που διανύθηκε με τη ταχύτητα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Αυτός ο τρόπος χειρισμού εκφράσεων που περιέχουν άγνωστες ποσότητες αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της άλγεβρας.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Τα σύμβολα αντιπροσωπεύουν αριθμούς και συνδυάζονται μεταξύ τους με τη χρήση των βασικών</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">πράξεων αριθμητικής. Τέτοιες εφαρμογές διευκολύνουν τη λύση προβλημάτων που δεν είναι ευανάγνωστα.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Για παράδειγμα:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Ας υποθέσουμε ότι δύο αυτοκίνητα ξεκινούν από το ίδιο σημείο με σταθερή ταχύτητα και το ένα ταξιδεύει κατά οχτώ χιλιόμετρα την ώρα πιο γρήγορα από το άλλο.</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Μετά από συγκεκριμένο χρόνο, το γρηγορότερο αυτοκίνητο έχει διανύσει τρείς φορές μεγαλύτερη απόσταση από το πιο αργό αυτοκίνητο. Ποιά είναι η ταχύτητα κάθε αυτοκινήτου;</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Υποθέτουμε ότι η ταχύτητα του πιο αργού αυτοκινήτου είναι u κι ότι αυτό διανύει απόσταση x σε χρόνο t οπότε έχουμε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">t=x/u</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">το γρηγορότερο αυτοκίνητο έχει ταχύτητα u+8 και διανύει απόσταση 3x στον ίδιο χρόνο t οπότε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">t=3x/(u+8) συνεπώς 3x/(u+8)=x/u οπότε ισχύει και (u+8)/3x=u/x πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 3x έχουμε:</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">u+8=3u οπότε</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">u=4</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">έτσι η ταχύτητα u του πιο αργού αυτοκινήτου είναι 4χλμ/ω και η ταχύτητα του πιο γρήγορου αυτοκινήτου είναι 12χλμ/ω (u+8)</span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Το παραπάνω παράδειγμα αποτελεί μια απλή περίπτωση , καταδεικνύει όμως τον τρόπο με τον οποίο η άλγεβρα χειρίζεται σχέσεις με τη βοήθεια των παραστάσεων της: αλγεβρικών παραστάσεων. </span></span><br />
<span style="font-family: Courier New, Courier, monospace; font-size: large;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><br /></span></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: large;"><br /></span>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3644885035203141982.post-2681794691686018472012-01-07T21:12:00.000-08:002016-01-23T08:34:09.949-08:00Μαθηματικά γ'<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><u><strong> Αριθμητική και στοιχειώδης Άλγεβρα,</strong></u></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Αριθμητική,</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Άλγεβρα</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">οι νόμοι των πράξεων, </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">δυνάμεις και ρίζες, </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">παράγοντες, </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">κλάσματα, </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">λόγος και αναλογία, </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">πολυώνυμα. </span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><strong><u>Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ</u></strong></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η αριθμητική είναι ο απλός κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τους αριθμούς και τους τρόπους με τους οποίους αυτοί μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αποτελεί ουσιαστικά πρακτικό αντικείμενο επεξεργασίας, που εφαρμόζεται σε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων ή ποσοτήτων και διακρίνεται από τη θεωρητική μελέτη των αριθμών.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η αριθμητική περιλαμβάνει τέσσερις πράξεις, που είναι γνωστές ως πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμός και διαίρεση.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> <strong><u>Πρόσθεση</u></strong>, η πιο βασική από τις τέσσερις πράξεις, κατά την οποία ένας αριθμός αυξάνεται κατά έναν άλλο αριθμό όπως για παράδειγμα 2+3=5.Το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται "<strong>άθροισμα</strong>" στο παράδειγμα είναι το 5 ,ενώ οι αριθμοί 2,3 λέγονται "<strong>προσθετέοι</strong>".</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> <strong><u>Αφαίρεση</u></strong> , αποτελεί πράξη αντίθετη της πρόσθεσης, είναι δηλαδή η μείωση ενός αριθμού κατά έναν άλλο αριθμό, πχ 5-3=2 το αποτέλεσμα της αφαίρεσης λέγεται "<strong>διαφορά</strong>"στο παράδειγμα είναι το 2, και ο αριθμός που αφαιρείται λέγεται "<strong>αφαιρετέος</strong>" εδώ ο 3.Η αφαίρεση θεωρείται η αντίστροφη της πρόσθεσης [δηλαδή 2+3=5 και 5-3=2] και η πρόσθεση αντίστροφη της αφαίρεσης. Μια σημαντική διαφορά μεταξύ της πρόσθεσης και της αφαίρεσης είναι ότι, κατά την πρόσθεση δύο φυσικών αριθμών [θετικών ακέραιων] το αποτέλεσμα είναι πάντα ένας άλλος φυσικός αριθμός . Αυτό όμως δεν συμβαίνει απαραίτητα κατά την πράξη της αφαίρεσης: η διαφορά 2-5 είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός (-3). Η αφαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της πρόσθεσης κατά την οποία ο αριθμός ο οποίος προστίθεται είναι αρνητικός δηλαδή 5-3=5+(-3) όμοια και η αφαίρεση ενός αρνητικού αριθμού ισοδυναμεί με πρόσθεση δηλαδή 5-(-3)=5+3. Η πράξη της αφαίρεσης οδήγησε στη διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης, που συμπεριέλαβε εκτός από τους θετικούς αριθμούς και τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> <u><strong>Πολλαπλασιασμός</strong></u>. Η πράξη αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση: το 9Χ5 είναι ισοδύναμο με 9+9+9+9+9 το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι γνωστό σαν "<strong>γινόμενο</strong>" δηλαδή στη περίπτωση 9x5=45 γινόμενο είναι το 45 ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται ο 9 λέγεται <strong>πολλαπλασιαστέος</strong> ενώ αυτός που τον πολλαπλασιάζει ο 5 λέγεται πολλαπλασιαστής.Στη πραγματικότητα όπως και στη πρόσθεση η σειρά των όρων δεν έχει μεγάλη σημασία 9x5 =5x9 οπότε και οι δύο όροι μπορούν να θεωρούνται πολλαπλασιαστές. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><strong><u>Διαίρεση</u></strong> .Όπως η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης, έτσι και η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή η πράξη 12:4=3 είναι το αντίστροφο της πράξης 4x3=12. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ονομάζεται "<strong>πηλίκο</strong>". Στην περίπτωση του παραδείγματος, το 3 είναι το πηλίκο της πράξης 12 δια 3 όπου τον αριθμό που διαιρείται(12) τον λέμε "<strong>διαιρετέο"</strong> και αυτόν που τον διαιρεί (4)τον λέμε "<strong>διαιρέτη"</strong>. Η διαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη αφαίρεση.Για παράδειγμα το 4 μπορεί να μπορεί να αφαιρεθεί τρεις φορές ακριβώς απο το δώδεκα.Δεν είναι όμως όλες οι διαιρέσεις ακριβείς -με ακέραιο πηλίκο- έτσι στη περίπτωση 13:4=3+(1:4)=3+1/4 όπου το επιπλέον κομμάτι πχ το 1/4 το λέμε υπόλοιπο. Η διαίρεση οδήγησε σε περαιτέρω διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης με την προσθήκη των κλασμάτων.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η <strong><u>ΑΛΓΕΒΡΑ</u></strong></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η αριθμητική ασχολείται με τους υπολογισμούς των αριθμών κυρίως σε μεμονωμένες περιπτώσεις.Για παράδειγμα αν ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει με 60 χιλιόμετρα την ώρα για τρείς ώρες καλύπτει μια απόσταση 180 χιλιομέτρων 60χ30=180 αν ταξιδεύει με 100 χιλιόμετρα την ώρα για τέσσερις ώρες, καλύπτει μια απόσταση 400 χιλιομέτρων 100x4=400.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η Άλγεβρα αποτελεί τη γενικευμένη μορφή της αριθμητικής.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Στην άλγεβρα χρησιμοποιούνται σύμβολα τα οποία αντιπροσωπεύουν αριθμούς.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η γενική σχέση που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή των παρακάτω παραδειγμάτων είναι η εξής: απόσταση που διανύθηκε (ς)=ταχύτητα(v)x χρόνος που απαιτήθηκε(t) H σχέση αυτή συμβατικά περιγράφεται με τα σύμβολα s=vt όπου: ς είναι η ταχύτητα, v η απόσταση, και t o χρόνος [το γινόμενο vxt γράφεται χωρίς το σημείο του πολλαπλασιασμού x ή . ] </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Αυτό αποτελεί ένα παράδειγμα εξίσωσης , στην οποία τα ς , v, t μπορούν να έχουν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή από μια συγκεκριμένη περιοχή. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Μια έκφραση όπως η παραπάνω αποτελεί μια πολύ πιο γενική έκφραση από ότι η αριθμητική έκφραση τους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα περιλαμβάνει απόσταση ταχύτητα και χρόνο όταν τα δύο είναι γνωστά και το τρίτο άγνωστο οπότε μπορεί να υπολογιστεί με βάση τη σχέση τους. Επιπλέον τέτοιου είδους εκφράσεις μπορούν να ανασχηματιστούν ώστε να προκύψουν διαφορετικές σχέσεις.Διαιρώντας τις δύο πλευρές της παραπάνω σχέσης με v δίνει: s/v=vt/v=t που σημαίνει ότι ο χρόνος προκύπτει αν διαιρεθεί η απόσταση που διανύθηκε με τη ταχύτητα. Αυτός ο τρόπος χειρισμού εκφράσεων που περιέχουν άγνωστες ποσότητες αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της άλγεβρας. </span>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3644885035203141982.post-75052995158241368272011-12-22T07:44:00.001-08:002016-01-23T08:33:36.805-08:00Μαθηματικά β'<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><strong><u>τα σύγχρονα μαθηματικά </u></strong></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η αρχή των σύγχρονων μαθηματικών τίθεται από πλήθος μεγάλων επιστημόνων μετά το 17ο αιώνα. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Ο <strong><u>Πιέρ</u></strong> <strong><u>Φερμά</u></strong> 1601-1624 ένας νέος γάλλος δικηγόρος περνούσε τον ελεύθερο χρόνο του μελετώντας μαθηματικά διατύπωσε «τη θεωρία των αριθμών» σύγχρονος του ήταν ο <u><strong>Ρενέ</strong></u> <u><strong>Ντεκάρτ</strong></u> 1596-1650 ο οποίος δημοσίευσε την επαναστατική του εργασία «Η Γεωμετρία» στην οποία πραγματεύτηκε τη σύνδεση γεωμετρίας και άλγεβρας. Η καινοτομία του Ντεκάρτ ήταν ο συμβολισμός σημείων με αριθμούς οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις αποστάσεις από σύστημα αναφοράς άξονες-ευθείες γραμμές. Με αυτό το τρόπο οι καμπύλες μπορούν να περιγραφούν από αλγεβρικές εξισώσεις, οι συμβολισμοί αυτοί είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες και καθιερώθηκαν από το γερμανό καθηγητή Γκοντφριντ Βίλχελμ <u><strong>Λάιμπνιτς</strong></u> (1646-1716) το δέκατο έβδομο αιώνα γίνεται η πρώτη απόπειρα λύσης προβλημάτων με μαθηματικό λογισμό.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Ήταν μια εποχή που οι μαθηματικοί πάσχιζαν για τη λύση προβλημάτων που σχετίζονταν με κλίσεις, μήκη και επιφάνειες καμπυλών. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Οι μαθηματικοί πριν από τον Ισαάκ <u><strong>Νεύτωνα</strong></u> (1643-1727) πρότειναν λύσεις προβλημάτων που αναφέρονταν σε ειδικές περιπτώσεις καμπυλών , αδυνατώντας να προτείνουν μια γενική μέθοδο, η οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε όλες τις καμπύλες. Παρόλο που οι μαθηματικές θεωρίες του Νεύτωνα είχαν διαμορφωθεί ήδη το 1669, έμειναν κατά ένα μεγάλο μέρος αδημοσίευτες, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί μια οδυνηρή διαμάχη γύρω από αυτές , αφού με τα ίδια επιστημονικά θέματα ασχολήθηκε και ο Λάιμπνιτς. το έργο αυτών των δύο συνέχισε ο Ελβετός Λέοναρντ <u><strong>Όυλερ</strong></u>(1703-1787) ο Γάλλος Ζόζεφ Λουί <u><strong>Λαγκράνζ</strong></u>(1763-1813) ο Ωγκυστέν <u><strong>Κωσύ</strong></u> (1789-1815) και ο Κάρλ <strong><u>Βάιερστρας</u></strong> (1815-1897). </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Κατά τη δεκαετία του 1820 ο Κωσύ επιχειρηματολογούσε υπέρ της καθιέρωσης της έννοιας του ορίου. Οι απειροελάχιστες ποσότητες θεωρούνταν πλέον όχι απείρως μικρές τιμές αριθμών, αλλά μεταβλητές ποσότητες, οι τιμές των οποίων τείνουν στο όριο του μηδενός.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><u><strong>Γεωμετρία μετά τις πρώτες θεωρίες του Ευκλείδη</strong></u></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η γεωμετρία αναπτύχθηκε από διάφορους μαθηματικούς με πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Παράλληλα με την ανάπτυξη της γεωμετρίας των συντεταγμένων(Αναλυτική γεωμετρία)που σημειώθηκε κατά το 17ο αιώνα ο Ζιράρ <strong><u>Ντεζάργκ</u></strong> (1591-1661) διατύπωσε την θεωρία της Προβολικής γεωμετρίας που αναφέρεται στις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αμετάβλητες κατά τη προβολή τους. Κατά τον 19ο αιώνα κάνουν την εμφάνιση τους διάφορες μη ευκλείδιες γεωμετρίες. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η γεωμετρία γενικά ως επιστήμη γίνεται περισσότερο θεωρητική και αλγεβρική -αριθμητική-.Ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρτ <u><strong>Ρήμαν</strong></u>(1826-1866) μάλιστα σε μια διάλεξη του το 1854 υποστήριξε ότι η γεωμετρία ήταν η επιστήμη του πολυδιάστατου χώρου.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Μια νέα προέκταση της γεωμετρίας ήταν η τοπολογία η οποία διαμορφώθηκε από το Γάλλο μαθηματικό Ζύλ Ανρί <u><strong>Πουανκαρέ</strong></u> (1854-1912).</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η τοπολογία αποτελεί τον κλάδο της γεωμετρίας ο οποίος μελετά τις ιδιότητες των σωμάτων που παραμένουν αμετάβλητες παρά τις αλλαγές σε μέγεθος ή το σχήμα. Η πρώτη συστηματική μελέτη του κλάδου αυτού έγινε απο τον Πουανκαρέ στο έργο του "Ανάλυση Θέσεως".</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><strong><u>'Αλγεβρα</u></strong></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Κατα το 19ο διατυπώθηκαν πολλές έννοιες που έφεραν την επανάσταση στο τομέα της άλγεβρας, μια από αυτές ήταν η έννοια της ομάδας που επινοήθηκε απο το Γάλλο Έβαριστ <u><strong>Γκαλουά</strong></u> (1811-1832). Ο Τζώρτζ <u><strong>Μπουλ</strong></u> αποκάλυψε τη γενικότητα της άλγεβρας με την εφαρμογή της στη λογική των συνόλων-θεωρητική άλγεβρα-.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Το θέμα αυτό αναπτύχθηκε στοιχειωδώς απο το Μπουλ και άλλους επιστήμονες, ενώ πιο βαθιά μελέτη έγινε αργότερα από το Γκέοργκ <u>Κάντορ</u> (1845-1918). Τον εικοστό αιώνα το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στις λογικές θεμελιώδης αρχές των μαθηματικών, τα οποία αποκτούν νέα διάσταση με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οι οποίοι χρησιμοποιούνται τόσο στα εφαρμοσμένα όσο και στα θεωρητικά μαθηματικά. </span>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3644885035203141982.post-10349527756063337842011-12-22T07:42:00.000-08:002016-01-23T08:33:19.496-08:00μαθηματικά α'<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><b>η προέλευση των μαθηματικών</b></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε πότε ακριβώς γεννήθηκε η επιστήμη των μαθηματικών, αλλά είναι ευνόητο ότι ακολούθησε την εμφάνιση της έννοιας του αριθμού.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Με την εμφάνιση της έννοιας αυτής, ο άνθρωπος μπόρεσε να διακρίνει τη διαφορά μεταξύ του «ενός» και των «πολλών».</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Υπάρχουν ενδείξεις ότι το επόμενο βήμα ήταν ο διαχωρισμός μεταξύ του «ενός» των «δύο» και των «περισσότερων από δύο».</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span>
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Στη συνέχεια ακολούθησε η μέτρηση με την ένα προς ένα αντιστοιχία αντικειμένων με άλλα αντικείμενα (όπως τα δάκτυλα). Οι μετρήσεις αυτές καταγράφονταν, για παράδειγμα με τη χρήση σωρών από πέτρες ή μύτες βελών στα οποία δίνονταν ονόματα.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αρχικά οι αριθμοί ήταν συνυφασμένοι με τα αντικείμενα τις ποσότητες των οποίων περιέγραφαν: πέντε άνθρωποι, δυο ζώα, τρία φυτά, τέσσερις πέτρες, κλπ.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αργότερα ακολούθησε η ανάπτυξη των θεωρητικών εννοιών «τρία» «τέσσερα» Κλπ.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Πολλοί υποστηρίζουν ότι η χρήση της μέτρησης άρχισε λόγω ανάγκης διάκρισης των αγαθών και των ποσοτήτων, άλλοι πάλι ότι αναπτύχθηκαν από τις πρώτες θρησκευτικές τελετουργικές βαθμίδες και ήταν τακτικά αριθμητικά πρώτος δεύτερος τρίτος κλπ και στη συνέχεια απόλυτοι αριθμοί (ένα δύο τρία).</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><u><strong> Οι πρώτες ιστορικές ανακαλύψεις </strong></u></span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η επιστήμη των μαθηματικών άρχισε να αναπτύσσεται ανεξάρτητα σε διάφορα μέρη του κόσμου. Όσον αφορά την αριθμητική και τη γεωμετρία πολιτισμοί με πρακτικά θέματα όπως το μοίρασμα της γης μετά τις πλημμύρες του Νείλου στον Αιγυπτιακό και τις εμπορικές συναλλαγές στη πολυεθνική Βαβέλ του Μεσοποταμιακού έδωσαν μια άμεση ώθηση στις πρακτικές της αριθμητικής και της γεωμετρίας που μπορούσαν να δώσουν λύσεις. Από ότι φαίνεται όμως τα μαθηματικά σαν ιερή πνευματική ενασχόληση απασχόλησε τον Ελληνικό πολιτισμό ο οποίος την κατέστησε από μια απλή πρακτική σε επιστήμη και μάλιστα σε εξαιρετικά σύντομο -αναλογικά- διάστημα. </span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Αυτό για μένα δε σημαίνει ότι ήρθαν τελευταίοι οι εξυπνότεροι και οι καλύτεροι και τα έκαναν όλα όπως έπρεπε σε χρόνο ελάχιστο και με τεράστια εμβάθυνση, αντιθέτως μου κινεί τις υποψίες για την εγκυρότητα της υποτιθέμενης ιστορικής αλήθειας που διδάσκεται στα σχολεία του κόσμου.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Οι υποτιθέμενοι ιστορικοί μας δίνουν μια εικόνα μεταλαμπάδευσης πνεύματος από τους πιο παλιούς πολιτισμούς προς τους πιο νέους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Αυτές τις ανοησίες μαθαίνουν ακόμη τα παιδιά στο σχολείο.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Λέω ανοησίες γιατί δεν ξέρουμε ποιος πολιτισμός είναι πρώτος και ποιος ύστερος διότι χάνονται όλοι σε προϊστορικά χρονικά πεδία. Άρα αυτό είναι μια απλή εικασία -ή μήπως δοξασία- όπως και τόσες άλλες που επικράτησαν επειδή βολεύουν κάποιους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η σύγχρονη αρχαιολογική σκαπάνη άλλα μας λέει: -βλέπε ανασκαφή στο σπήλαιο Πετραλώνων Χαλκιδικής- ο άνθρωπος ζει στην Ελλάδα εκατομμύρια χρόνια, καλλιεργώντας σιτάρι και έχοντας φωτιά. Άρα ότι διδασκόμαστε για ινδοευρωπαίους και λοιπά είναι τουλάχιστον ανοησίες.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Επιπλέον ορίζει -η αρχαιολογία- ανεξάρτητα κέντρα μαθηματικής ανάπτυξης σε κάθε πολιτισμό ακόμη και χωρίς καμία επαφή με τους υπόλοιπους παλιότερους ή και σύγχρονους τους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Διαφαίνεται έτσι μια πηγαία αναγκαιότητα, στον τρόπο που κατανοεί το περιβάλλον του και τη δομή του κόσμου ο άνθρωπος, όπως γίνεται αργότερα με τη λογική και τη ψυχολογία.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Είναι απλά ο τρόπος που λειτουργούμε.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Οι αλληλουχίες του τύπου: πρώτοι ανακάλυψαν τα μαθηματικά οι Μεσοποτάμιοι μετά πήραν τη σκυτάλη οι Αιγύπτιοι και από αυτούς οι Έλληνες... είναι αστήρικτη φαιδρή και το κυριότερο πιστεύω ότι υπηρετεί σκοπιμότητες αφού και οι τρεις πολιτισμοί χάνονται στη προϊστορική περίοδο και δεν ξέρουμε ούτε ποιος υπήρξε πρώτος χρονικά, ούτε αν έρχονταν σε επαφή μεταξύ τους, πριν από το λεγόμενο ιστορικό διάστημα, ούτε ποιός επηρέασε ποιόν και σε ποιό βαθμό.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Έτσι δεν καταλαβαίνω γιατί να μην αποδεχτούμε αυθαίρετα την επίσης αστήρικτη άποψη, ότι και οι τρείς κλάδοι του πολιτισμού είναι μέρη ενός πολύ βαθύτερου ενιαίου προκατακλυσμιαίου πολιτισμού κορμού, όπου όλος ο κόσμος είχε μεταξύ του επαφές, όπως εμείς σήμερα και ήταν εξίσου ή και περισσότερο τεχνολογικά ανεπτυγμένος από το σημερινό, αν και σε διαφορετική βάση.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Μιλάμε για εκατομμύρια χρόνια άγνωστων διεργασιών και ο δικός μας αριθμεί ιστορικά καταγεγραμμένα περί τα 6.000 χρόνια.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Μπορεί μάλιστα να υπάρχουνε δυνατότητες για εκατοντάδες τέτοιες ανεξάρτητες εξελίξεις με αυτή τη παραδοχή. Προσωπικά η ιστορία δε με διδάσκει ότι υπήρξαν σκυταλοδρομίες πολιτισμικές αλλά κατάργηση και μάλιστα βίαιη [ λόγω: πολέμου-ανθρώπινος παράγοντας- ηφαιστείου, αστεροειδούς, κατακλυσμού -λιώσιμο των πάγων-, και άλλων απίθανων περιπτώσεων] και από το μηδέν επανεκκίνηση προς νέες κατευθύνσεις ώστε: ξανά και ξανά και ξανά να ανακαλύπτεται ο τροχός γιατί δεν μαθαίνουμε από τα λάθη μας και παρόλα αυτά μας χρειάζεται.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αυτό πιστεύω πως γίνεται λοιπόν σε σχέση με τα ευρήματα σε Μεσοποταμία, σε Αίγυπτο, και Ελλάδα, που όντως έχουν διαφορετική χρονολογική σειρά αλλά δεν αποδεικνύουν τη σειρά ύπαρξης των εξελίξεων. Εξάλλου αυτό φαίνεται και στα συμπεράσματα των ειδικών για τα συγκεκριμένα ευρήματα.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αποδεικνύεται λόγου χάρη ότι οι πάπυροι του Ρίντ ή Αχμές-1650πΧ- και της Μόσχας-1850πΧ- που σώθηκαν δεν δείχνουν μεγάλη μαθηματική πρόοδο των Αιγυπτίων όπως είκαζαν οι ιστορικοί που προανέφερα οι οποίοι μιλούσαν για «αξιοθαύμαστη πρόοδο στα μαθηματικά από τους Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους».</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Τα περισσότερα από τα προβλήματα που αναφέρονται στους πάπυρους ήταν πρακτικά και πραγματεύονται ερωτήματα του τύπου «πως μπορούν να μοιραστούν 1,2,6,7,8,9 φρατζόλες ψωμί ανάμεσα σε 10 ανθρώπους σε ίσες μερίδες;» </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Η εξαίρεση είναι ερωτήματα γενικά όπως: </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">«Ποιά η ποσότητα που όταν προστεθεί στο ένα τέταρτο αυτής δίνει το δεκαπέντε;» Που αντιστοιχεί στην εξίσωση χ+1/4χ=15</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Οι δε βαβυλωνιακές μαθηματικές πλάκες που σώθηκαν προέρχονται από τη βαβυλωνιακή περίοδο 1600πΧ και κάποιες από τη περίοδο των Σελευκιδών 300πΧ και μετά.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Σε πολλές βαβυλωνιακές πλάκες περιέχονται πίνακες πολλαπλασιασμών και άλλων μαθηματικών πράξεων, ενώ σε άλλες περιέχονται περιγραφές διαφόρων μεθόδων επίλυσης προβλημάτων. Κάποιες τεχνικές μάλιστα χρησιμοποιούνται ακόμη σήμερα.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Για παράδειγμα στο ερώτημα: «Ποιός είναι ο αριθμός ο οποίος αν αφαιρεθεί από το τετράγωνο του εαυτού του δίνει 870;» Που ισοδυναμεί με την εξίσωση: [Χ.Χ]-Χ=870 η λύση Χ=30 επιτυγχάνεται με τη χρήση μιας μεθόδου η οποία είναι γνωστή ως «Η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου».</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Όπως προκύπτει τα αιγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά είχαν στενά πρακτικό προσανατολισμό και χαρακτήρα.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Κάτω από εντελώς διαφορετικό πρίσμα αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά στον Ελληνικό πολιτισμό του οποίου η συνεισφορά αδιαμφισβήτητα επηρέασε αφού προέβη στη δημιουργία της Μαθηματικής Επιστήμης όπως την αντιλαμβανόμαστε σήμερα. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Αυτό το πέτυχε αναπτύσσοντας την έννοια της αυστηρής απόδειξης.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η έννοια αυτή φαίνεται ότι δεν απασχόλησε τους μαθηματικούς άλλων πολιτισμών, οι οποίοι γενικά ασχολούνταν με τη διατύπωση και την εξέταση αξιόπιστων κανόνων(αλγορίθμων)και τη κατάλληλη εφαρμογή τους.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η έννοια της απόδειξης αναδύθηκε νωρίς στον Ελληνικό πολιτισμό καθιερώθηκε όμως από τον <u><strong>Ευκλείδη</strong></u> με το έργο του: «<u><strong>Στοιχεία</strong></u>» (300πΧ) έργο σταθμός στην ιστορία των επιστημών που έχει ξεπεράσει σε τύπωμα το πιο πολυ-τυπωμένο έργο στο χριστιανικό κόσμο τη Βίβλο και που δεν νοείται μαθηματικός να μην το έχει στη βιβλιοθήκη του! -Αλήθεια από ποιόν εκδοτικό οίκο τυπώνεται σήμερα στην Ελλάδα αρχαίο κείμενο και μετάφραση; Από κανέναν απαντώ μετά από γρήγορη ματιά που έριξα στο διαδίκτυο. Οπότε θα το βρούμε από παλιότερη έκδοση και θα το παρέχουμε στους φιλομαθείς αναρτώντας το- Εκτός από τον Ευκλείδη εξέχουσα θέση στους πάρα πολλούς μεγάλους μαθηματικούς Έλληνες κατέχουν οι:</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> -<strong><u>Απολλώνιος</u></strong> ο Περγαίος, (262-190πΧ) που διαδέχθηκε τον Ευκλείδη και έγραψε το περίφημο έργο «Κωνικές τομές»</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-<strong><u>Αρχιμήδης</u></strong> ο Συρακούσιος,(287-212πΧ)που θεωρείται ο σπουδαιότερος μαθηματικός της αρχαιότητας. Σώθηκε μεγάλο μέρος του έργου του που περιλαμβάνει τη μέθοδο μέτρησης εμβαδού επιφανείας κύκλου και άλλων καμπυλόγραμμων σχημάτων -είναι όμως γνωστότερος για τη τεράστια συνεισφορά του στη Φυσική είναι γνωστό το Εύρηκα για το νόμο της άνωσης- </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-<strong><u>Διόφαντος</u></strong> ο Αλεξανδρείας, που έγραψε το πρώτο σημαντικό έργο αριθμητικής με τον ομώνυμο τίτλο «Αριθμητική». </span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Από τη παράδοση της μαθηματικής πρακτικής δεν λείπουν και οι πολιτισμοί της άπω Ανατολής Κίνας -από το 300πΧ- και Ινδίας -500μΧ- που συνέβαλαν σε πολλούς τομείς της αριθμητικής με γνωστότερη τη διερεύνηση των λεγόμενων μαγικών τετραγώνων</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Για τους Ινδούς διανοητές θα πρέπει να γίνει ειδική μνεία γιατί συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη και την εξάπλωση της ινδο-αραβικής γραφής των αριθμών και στην αναμόρφωση της τριγωνομετρίας.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Το έργο του <u><strong>Πτολεμαίου</strong></u> «πίνακες»και του Αρζαμπάρ «Αρυαμπ-χατιγιάμ» (475-550) είναι οι πρόδρομοι της τριγωνομετρίας. Με την παρακμή της Ευρώπης στο έκτο μετά Χριστού αιώνα-Μεσαίωνας- η επιστήμη των μαθηματικών σχεδόν εξαφανίστηκε.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Τα έργα των Ελλήνων μεταφράστικαν από τους άραβες με τους οποίους συνδέονται στο εξής με βαθιά φιλία εξαιτίας ακριβώς της μεταλαμπάδευσης πνεύματος που κάνει τους δυο πολιτισμούς αδελφοποιητούς.Η συνεισφορά των Αράβων στα μαθηματικά επικεντρώνεται στην Άλγεβρα και σηματοδοτήθηκε απο έργα επιστημόνων όπως ο <u><strong>Αλ</strong></u> <u><strong>Χουαριζμι</strong></u>. </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Κατα τη διάρκεια της κλασσικής περιόδου των Μάγια (300-900 μΧ) Πραγματοποιήθηκε μια ιδιαίτερη προσέγγιση των μαθηματικών φαίνεται να είναι οι πρώτοι που καθιέρωσαν μια κλίμακα αριθμών στην οποία ορίζεται το μηδέν.Το συμπέρασμα βγαίνει απο τα ημερολόγια τους.Πιθανολογείται ότι η ανάγκη ανάπτυξης των μαθηματικών προκύπτει απο τις δυσκολίες που δημιουργεί η χρήση δύο ημερολογίων και ο υπολογισμός των σχέσεων τους.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Μετά τις πρώτες σταυροφορίες και τα κλοπιμαία από αραβικές και βυζαντινές περιοχές όπου πλιατσικολογούσαν οι άγιοι άνθρωποι της Ευρώπης του μεσαίωνα μαλλον μαζί με τα χρυσά και αργυρά αντικείμενα κουβάλησαν και χρυσοποίκιλτα χειρόγραφα, εκτός των άλλων: μνημειωδών έργων μαθηματικών και λοιπών επιστημών.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Αυτή η περίοδος που με την εισαγωγή προσώπων και ειδών, φορέων πολιτισμού -και για τούτο ονομάζεται Αναγέννηση- αναγεννά το κουρελιασμένο πνεύμα των ευρωπαίων, κατακρεουργημένο από όλες εκείνες τις φαύλες φάρες των πρεσβευτών του Θεού επί γης που καίγανε τους ανθρώπους στο όνομα του Χριστού σαν πράξη ύψιστου θεολογικού πολιτισμού με έμβλημα: το πίστευε! και μη ερεύνα.</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Από τη μεταλαμπάδευση πνεύματος προκύπτει το νέο έμβλημα που γίνεται: πίστευε και μη,ερεύνα!!!</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Μια τρομερή ώθηση δίνεται τότε στις τέχνες και τις επιστήμες. Τα πρώτα πράγματα που έκαναν ήταν να μελετήσουν τα έργα της αρχαιότητας:</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Η πρώτη έκδοση</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-του Ευκλείδη το 1482,</span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-του Απολλώνιου το 1537 </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-του Αρχιμήδη το 1544 </span><br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">-του Διοφάντη το 1575. </span><br />
<br />
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Το αναγκαίο υπόβαθρο σοβαρής ανάπτυξης δηλαδή μια ενιαία ακριβέστατη μαθηματική γλώσσα μονοσήμαντων συμβόλων και εννοιών, έγινε κατορθωτό το δεύτερο μισό του 17ου αιώνα και συνδυάστηκε: με το ινδοαραβικό σύστημα γραφής αριθμών που χρησιμοποιούμε μέχρι σήμερα, την προετοιμασία του γάλλου μαθηματικού <strong><u>Φρασουά</u></strong> <u>Βιετ</u> 1540-1603 που εισήγαγε τα σύμβολα των γνωστών και αγνώστων και αντικατέστησε τη διατύπωση εξισώσεων για ειδικές περιπτώσεις από γενικευμένες εξισώσεις, τη μέθοδο επίλυσης τριτοβάθμιας εξίσωσης απο τον Ιταλό Τζερόνιμο Καρντάνο που δημοσίευσε το έργο του Μεγάλη Τέχνη 1545 στο οποίο περιέχεται η μέθοδος λύσης τριτοβάθμιων εξισώσεων [αχ3+βχ2+γχ=0].</span>Unknownnoreply@blogger.com0